- Що таке квадратне рівняння?
- Типи квадратних рівнянь
- Основні методи розв'язування квадратних рівнянь
- Неповні квадратні рівняння
- Практичні поради для розв'язування квадратних рівнянь
- Як JustSmart може допомогти підготуватися до НМТ з математики?
- Застосування квадратних рівнянь
- Історія квадратних рівнянь
Що таке квадратне рівняння?
Квадратне рівняння — це рівняння виду ax² + bx + c = 0, де:
- a ≠ 0
- a, b, c — дійсні числа
- x — невідома
Квадратні рівняння широко використовуються в математиці, фізиці та інших науках для моделювання різноманітних процесів.
Онлайн-курси підготовки до НМТ від Just Smart!
- Онлайн-заняття з досвідченими викладачами.
- Унікальні навчальні матеріали.
- Психологічні тренінги та практичні лайфхаки.





Типи квадратних рівнянь
Є два основні типи квадратних рівнянь:
Повні квадратні рівняння: Ці рівняння включають всі три члени: квадратний, лінійний та константу. Наприклад: 2×2+3x−5=0.
Неповні квадратні рівняння: Ці рівняння можуть бути або без лінійного члена, або без константи. Наприклад: x2−4=0 — без лінійного члена, а x2+2x=0 — без константи.
Основні методи розв’язування квадратних рівнянь
Існує декілька основних методів розв’язування квадратних рівнянь. Розгляньмо детальніше кожен метод.
Доповнення до квадрата
Цей метод передбачає перетворення рівняння в ідеальний квадрат. Наприклад, щоб розв’язати x2+6x+8=0:
- Перепишемо: x2+6x=−8
- Додамо (62)2=9 до обох сторін: x2+6x+9=1
- Факторизуємо: (x+3)2=1
- Беремо квадратний корінь: x+3=1 або x+3=−1
- Розв’язки: x=−2 або x=−4
Формула квадратного рівняння
Формула квадратного рівняння є універсальним методом, який можна застосувати до будь-якого квадратного рівняння. Формула виглядає так:
x=−b±D2a, де D=b2−4ac.
Наприклад, щоб розв’язати 3×2−12x+9=0:
- Визначаємо коефіцієнти: a=3, b=−12, c=9
- Обчислюємо дискримінант: D=(−12)2−4(3)(9)=144−108=36
- Застосовуємо формулу квадратного рівняння:
x=12±362⋅3=12±66 - Розв’язки: x=3 або x=1
Теорема Вієта
Теорема Вієта встановлює зв’язок між коефіцієнтами квадратного рівняння та його коренями:
x1+x2=−ba
x1x2=ca
Ця теорема корисна для швидкої перевірки розв’язків або для знаходження коренів методом підбору.
Розглянемо рівняння: x2−7x+12=0
Згідно з теоремою Вієта, ми можемо знайти:
x1+x2=7
x1x2=12
Методом підбору знаходимо, що:
x1=3, x2=4
Отже, корені рівняння x2−7x+12=0 дорівнюють 3 та 4.
Графічний метод
Графічний метод полягає в побудові графіка параболи, описаної рівнянням: y=ax2+bx+c
Після побудови графіка потрібно знайти точки перетину цієї параболи з віссю x. Ці точки є коренями квадратного рівняння.
Розглянемо квадратне рівняння: x2−7x+12=0. Функція має вигляд: y=x2−7x+12.
Щоб побудувати графік, ми можемо знайти кілька точок, підставляючи значення x:
- При x=0: y=02−7⋅0+12=12 (0,12)
- При x=1: y=12−7⋅1+12=6 (1,6)
- При x=2: y=22−7⋅2+12=2 (2,2)
- При x=3: y=32−7⋅3+12=0 (3,0)
- При x=4: y=42−7⋅4+12=2 (4,2)
- При x=5: y=52−7⋅5+12=6 (5,6)
- При x=6: y=62−7⋅6+12=12 (6,12)
Складемо таблицю значень:
x | y |
0 | 12 |
1 | 6 |
2 | 2 |
3 | 0 |
4 | 2 |
5 | 6 |
6 | 12 |
Побудуємо графік функції:
З графіка видно, що парабола перетинає вісь x у точках x=3 та x=4. Отже, корені рівняння x2−7x+12=0 дорівнюють 3 та 4.
Розкладання на множники
Цей метод ефективний, коли квадратний тричлен легко розкладається на множники.
Розв’яжемо рівняння: x2−x−6=0.
Розкладаємо квадратний тричлен на множники: (x−3)(x+2)=0.
Згідно з властивістю рівності нуля добутку, якщо добуток двох множників дорівнює нулю, то хоча б один з множників має дорівнювати нулю. Тобто: x−3=0 або x+2=0.
Розв’язуючи ці рівняння, отримуємо: x=3 або x=−2.
Неповні квадратні рівняння
Для неповних квадратних рівнянь можна використовувати спрощені формули:
Вид рівняння | Формула розв’язку |
ax2+c=0 | x=±−ca |
ax2+bx=0 | x1=0, x2=−ba |
Практичні поради для розв’язування квадратних рівнянь
- Розумійте дискримінант: Значення дискримінанта допомагає визначити природу коренів.
- Практикуйте різні методи: Ознайомтеся з усіма методами розв’язування. Хоча факторизація часто є найшвидшою, деякі рівняння легше розв’язати за допомогою формули квадратного рівняння.
- Перевіряйте свої розв’язки: Завжди підставляйте свої розв’язки назад в оригінальне рівняння, щоб переконатися, що вони правильні.
- Використовуйте графіки для розуміння: Графічне зображення квадратної функції може надати візуальне уявлення про розв’язки. Точки, у яких графік перетинає вісь x, відповідають розв’язкам рівняння.
Як JustSmart може допомогти підготуватися до НМТ з математики?
JustSmart пропонує різноманітні можливості для ефективної підготовки до НМТ з математики, забезпечуючи комплексний підхід до навчання.
Ось кілька способів, як ми можемо підтримати вас у цьому процесі на курсах підготовки до НМТ:
- На навчальних вебінарах наші досвідчені викладачі пояснюють ключові теми та концепції. Ці заняття дозволяють вам отримати глибше розуміння матеріалу і поставити питання в режимі реального часу.
- Регулярні психологічні тренінги допомагають підвищити вашу стресостійкість і підготуватися до екзаменаційного тиску. Ви навчитеся технік, які допоможуть зберігати спокій і зосередженість під час іспитів.
- Наші експерти діляться лайфхаками та рекомендаціями, які можуть бути корисними під час складання НМТ. Це покращить вашу підготовку та впевненість у своїх силах.
У JustSmart ви можете пройти пробний тест НМТ з математики, щоб оцінити свій рівень знань прямо зараз. Це допоможе вам зрозуміти, які теми потребують додаткової уваги.
Наші онлайн-курси математики для 1-11 класів сприяють формуванню міцного фундаменту знань. Викладачі надають підтримку та роз’яснення, щоб учні відчували впевненість у своїх знаннях.
Для тих, хто бажає покращити свої мовні навички, ми також пропонуємо заняття з англійської для дітей у JustSchool. Це допоможе розвивати мовні компетенції.
JustSmart — ваш надійний партнер у підготовці до НМТ з математики!
Читайте також: Що таке пропорція в математиці, та яка основна властивість пропорції?
Застосування квадратних рівнянь
Квадратні рівняння є незамінним інструментом у багатьох галузях науки і техніки. Їх застосування демонструє важливість для моделювання, аналізу та розв’язання практичних задач, що робить їх корисними для спеціалістів у різних сферах.
- Фізика. У фізиці квадратні рівняння використовуються для опису руху тіл, зокрема у рівняннях руху з постійним прискоренням. Вони також застосовуються для аналізу електричних кіл, де напруга, струм та опір можуть бути пов’язані за допомогою квадратичних формул.
- Економіка. В економіці квадратні рівняння використовуються для моделювання різних аспектів, таких як аналіз попиту і пропозиції. Вони допомагають у визначенні максимізації прибутку або мінімізації витрат, що є важливими для фінансових розрахунків.
- Геометрія. У геометрії квадратні рівняння застосовуються для знаходження площ і об’ємів різних фігур. Наприклад, площа кола та об’єм тривимірних фігур можуть бути представлені через квадратичні вирази.
- Інженерія. В інженерії квадратні рівняння використовуються при проєктуванні конструкцій. Вони допомагають у розрахунках навантажень на балки та інші конструкції, а також у механіці для аналізу сил і моментів, що діють на елементи конструкцій.
Уміння розв’язувати квадратні рівняння — важлива математична навичка. Різноманітність методів дозволяє вибрати найбільш ефективний підхід для кожного конкретного випадку. Практика та розуміння теоретичних основ допоможуть вам впевнено працювати з квадратними рівняннями в різних задачах.
Читайте також: Як розв’язувати лінійні рівняння: приклади та поради
Завдання для самостійного опрацювання
- Рівняння 1
x2−7x+10=0
- Рівняння 2
2×2+4x−6=0
- Рівняння 3
x2+5x=0
Історія квадратних рівнянь
Квадратні рівняння мають багатовікову історію. Їхнє вивчення почалося ще в стародавньому Вавилоні, де математичні тексти містили задачі на квадратні рівняння. Тоді вони розв’язувалися за допомогою геометричних побудов.
Цікаві факти:
- Давньогрецький внесок. Математики, як-от Евклід та Герон, використовували геометричні методи для розв’язання квадратних рівнянь. Вони бачили рівняння як задачі на площі.
- Перські вчені. Аль-Хорезмі, знаменитий математик IX століття, вважається “батьком алгебри”. Він розробив методи, які лягли в основу сучасного розв’язання квадратних рівнянь.
- Європейський ренесанс. У XVI столітті італійські математики, зокрема Джироламо Кардано, розробили методи для розв’язання кубічних і квадратних рівнянь, які ми використовуємо сьогодні.
*Відповіді до завдань для самостійного опрацювання
- Відповідь до Рівняння 1
Розкладемо на множники:
(x−5)(x−2)=0
Корені:
x1=5, x2=2
- Відповідь до Рівняння 2
Спершу знайдемо дискримінант:
D=42−4⋅2⋅(−6)=16+48=64
Застосуємо формулу:
$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{6^2 – 4 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{4}$$
Корені:
x1=1, x2=−3
- Відповідь до Рівняння 3
Виділяємо спільний множник:
x(x+5)=0
Корені:
x1=0, x2=−5