Як розв’язувати квадратні рівняння: приклади та поради

8
Хвилин читання

Що таке квадратне рівняння?

Квадратне рівняння — це рівняння виду ax² + bx + c = 0, де:

  • a ≠ 0
  • a, b, c — дійсні числа
  • x —  невідома

Квадратні рівняння широко використовуються в математиці, фізиці та інших науках для моделювання різноманітних процесів.

Онлайн-курси підготовки до НМТ від Just Smart!

Допоможемо скласти іспити на 180+ та вступити до омріяного університету!
Наші курси містять:
  • Онлайн-заняття з досвідченими викладачами.
  • Унікальні навчальні матеріали.
  • Психологічні тренінги та практичні лайфхаки.
:dart: Долай навчальні труднощі разом з нами!

Онлайн-курси підготовки до НМТ від Just Smart! Онлайн-курси підготовки до НМТ від Just Smart! Онлайн-курси підготовки до НМТ від Just Smart!

Типи квадратних рівнянь

Типи квадратних рівнянь

Основні методи розв’язування квадратних рівнянь

Існує декілька основних методів розв’язування квадратних рівнянь. Розгляньмо детальніше кожен метод.

Доповнення до квадрата

Цей метод передбачає перетворення рівняння в ідеальний квадрат. Наприклад, щоб розв’язати x2+6x+8=0:

  • Перепишемо: x2+6x=−8
  • Додамо (6/2)2=9 до обох сторін: x2+6x+9=1
  • Факторизуємо: (x+3)2=1
  • Беремо квадратний корінь: x+3=1 або x+3=−1
  • Розв’язки: x=−2 або x=−4

Формула квадратного рівняння

Формула квадратного рівняння є універсальним методом, який можна застосувати до будь-якого квадратного рівняння. Формула виглядає так:

x=−b±√D/2a, де D=b2−4ac

Наприклад, щоб розв’язати 3x2−12x+9=0:

  • Визначаємо коефіцієнти: a=3, b=−12, c=9
  • Обчислюємо дискримінант: D=(−12)2−4(3)(9)=144−108=36
  • Застосовуємо формулу квадратного рівняння:
    x=12±√36/2⋅3=12±6/6 
  • Розв’язки: x=3 або x=1

Теорема Вієта

Теорема Вієта встановлює зв’язок між коефіцієнтами квадратного рівняння та його коренями:

x1 + x2=−b/a
x1 ⋅ x2=c/a

Ця теорема корисна для швидкої перевірки розв’язків або для знаходження коренів методом підбору.

Розглянемо рівняння: x2−7x+12=0

Згідно з теоремою Вієта, ми можемо знайти:

x1 + x2=7
x1⋅ x2=12

Методом підбору знаходимо, що:

x1=3, x2=4

Отже, корені рівняння x2−7x+12=0 дорівнюють 3 та 4.

Графічний метод

Графічний метод полягає в побудові графіка параболи, описаної рівнянням: y=ax2+bx+c

Після побудови графіка потрібно знайти точки перетину цієї параболи з віссю x. Ці точки є коренями квадратного рівняння.

Розглянемо квадратне рівняння: x2−7x+12=0. Функція має вигляд: y=x2−7x+12.

Щоб побудувати графік, ми можемо знайти кілька точок, підставляючи значення x:

  • При x=0: y=02−7⋅0+12=12 (0,12)
  • При x=1: y=12−7⋅1+12=6 (1,6)
  • При x=2: y=22−7⋅2+12=2 (2,2)
  • При x=3: y=32−7⋅3+12=0 (3,0)
  • При x=4: y=42−7⋅4+12=2 (4,2)
  • При x=5: y=52−7⋅5+12=6 (5,6)
  • При x=6: y=62−7⋅6+12=12 (6,12)

Складемо таблицю значень:

xy
012
16
22
30
42
56
612

Побудуємо графік функції:

З графіка видно, що парабола перетинає вісь x у точках x=3 та x=4. Отже, корені рівняння x2−7x+12=0 дорівнюють 3 та 4.

Розкладання на множники

Цей метод ефективний, коли квадратний тричлен легко розкладається на множники.

Розв’яжемо рівняння: x2−x−6=0.

Розкладаємо квадратний тричлен на множники: (x−3)(x+2)=0.

Згідно з властивістю рівності нуля добутку, якщо добуток двох множників дорівнює нулю, то хоча б один з множників має дорівнювати нулю. Тобто: x−3=0 або x+2=0.

Розв’язуючи ці рівняння, отримуємо: x=3 або x=−2.

Неповні квадратні рівняння

Для неповних квадратних рівнянь можна використовувати спрощені формули:

Неповні квадратні рівняння

Практичні поради для розв’язування квадратних рівнянь

  • Розумійте дискримінант
    Значення дискримінанта допомагає визначити природу коренів.
  • Практикуйте різні методи
    Ознайомтеся з усіма методами розв’язування. Хоча факторизація часто є найшвидшою, деякі рівняння легше розв’язати за допомогою формули квадратного рівняння.
  • Перевіряйте свої розв’язки
    Завжди підставляйте свої розв’язки назад в оригінальне рівняння, щоб переконатися, що вони правильні.
  • Використовуйте графіки для розуміння
    Графічне зображення квадратної функції може надати візуальне уявлення про розв’язки. Точки, у яких графік перетинає вісь x, відповідають розв’язкам рівняння.
Спробуйте навчання в JustSmart безкоштовно

Як JustSmart може допомогти підготуватися до НМТ з математики?

JustSmart пропонує різноманітні можливості для ефективної підготовки до НМТ з математики, забезпечуючи комплексний підхід до навчання.

Ось кілька способів, як ми можемо підтримати вас у цьому процесі на курсах підготовки до НМТ:

  • На навчальних вебінарах наші досвідчені викладачі пояснюють ключові теми та концепції. Ці заняття дозволяють вам отримати глибше розуміння матеріалу і поставити питання в режимі реального часу.
  • Регулярні психологічні тренінги допомагають підвищити вашу стресостійкість і підготуватися до екзаменаційного тиску. Ви навчитеся технік, які допоможуть зберігати спокій і зосередженість під час іспитів.
  • Наші експерти діляться лайфхаками та рекомендаціями, які можуть бути корисними під час складання НМТ. Це покращить вашу підготовку та впевненість у своїх силах.

У JustSmart ви можете пройти пробний тест НМТ з математики, щоб оцінити свій рівень знань прямо зараз. Це допоможе вам зрозуміти, які теми потребують додаткової уваги.

Наші онлайн-курси математики для 1-11 класів сприяють формуванню міцного фундаменту знань. Викладачі надають підтримку та роз’яснення, щоб учні відчували впевненість у своїх знаннях.

Для тих, хто бажає покращити свої мовні навички, ми також пропонуємо заняття з англійської для дітей у JustSchool. Це допоможе розвивати мовні компетенції.

JustSmart — ваш надійний партнер у підготовці до НМТ з математики!

Читайте також: Що таке пропорція в математиці, та яка основна властивість пропорції?

Застосування квадратних рівнянь

Квадратні рівняння є незамінним інструментом у багатьох галузях науки і техніки. Їх застосування демонструє важливість для моделювання, аналізу та розв’язання практичних задач, що робить їх корисними для спеціалістів у різних сферах.

  • Фізика. У фізиці квадратні рівняння використовуються для опису руху тіл, зокрема у рівняннях руху з постійним прискоренням. Вони також застосовуються для аналізу електричних кіл, де напруга, струм та опір можуть бути пов’язані за допомогою квадратичних формул.
  • Економіка. В економіці квадратні рівняння використовуються для моделювання різних аспектів, таких як аналіз попиту і пропозиції. Вони допомагають у визначенні максимізації прибутку або мінімізації витрат, що є важливими для фінансових розрахунків.
  • Геометрія. У геометрії квадратні рівняння застосовуються для знаходження площ і об’ємів різних фігур. Наприклад, площа кола та об’єм тривимірних фігур можуть бути представлені через квадратичні вирази.
  • Інженерія. В інженерії квадратні рівняння використовуються при проєктуванні конструкцій. Вони допомагають у розрахунках навантажень на балки та інші конструкції, а також у механіці для аналізу сил і моментів, що діють на елементи конструкцій.

Уміння розв’язувати квадратні рівняння — важлива математична навичка. Різноманітність методів дозволяє вибрати найбільш ефективний підхід для кожного конкретного випадку. Практика та розуміння теоретичних основ допоможуть вам впевнено працювати з квадратними рівняннями в різних задачах.

Читайте також: Як розв’язувати лінійні рівняння: приклади та поради

Завдання для самостійного опрацювання

  • Рівняння 1

x2−7x+10=0

  • Рівняння 2

2x2+4x−6=0

  • Рівняння 3

x2+5x=0

Історія квадратних рівнянь

Квадратні рівняння мають багатовікову історію. Їхнє вивчення почалося ще в стародавньому Вавилоні, де математичні тексти містили задачі на квадратні рівняння. Тоді вони розв’язувалися за допомогою геометричних побудов.

Цікаві факти:

  1. Давньогрецький внесок. Математики, як-от Евклід та Герон, використовували геометричні методи для розв’язання квадратних рівнянь. Вони бачили рівняння як задачі на площі.
  2. Перські вчені. Аль-Хорезмі, знаменитий математик IX століття, вважається “батьком алгебри”. Він розробив методи, які лягли в основу сучасного розв’язання квадратних рівнянь.
  3. Європейський ренесанс. У XVI столітті італійські математики, зокрема Джироламо Кардано, розробили методи для розв’язання кубічних і квадратних рівнянь, які ми використовуємо сьогодні.

*Відповіді до завдань для самостійного опрацювання

  • Відповідь до Рівняння 1

Розкладемо на множники: (x−5)(x−2)=0

Корені: x1=5, x2=2

  • Відповідь до Рівняння 2

Спершу знайдемо дискримінант: D=42−4⋅2⋅(−6)=16+48=64

Застосуємо формулу: x= −4±√64/2⋅2=−4±8/4

Корені: x1=1, x2=−3

  • Відповідь до Рівняння 3

Виділяємо спільний множник: x(x+5)=0

Корені: x1=0, x2=−5

Спробуйте навчання в JustSmart безкоштовно

Читай також