Як розв’язувати квадратні рівняння: приклади та поради

• Що таке квадратне рівняння?
• Типи квадратних рівнянь
• Основні методи розв'язування квадратних рівнянь
• Неповні квадратні рівняння
• Як JustSmart може допомогти підготуватися до НМТ з математики?
• Застосування квадратних рівнянь
• Історія квадратних рівнянь

Що таке квадратне рівняння?

Квадратне рівняння — це рівняння виду ax² + bx + c = 0, де:

• a ≠ 0
• a, b, c — дійсні числа
• x —  невідома

Квадратні рівняння широко використовуються в математиці, фізиці та інших науках для моделювання різноманітних процесів.

Онлайн-курси підготовки до НМТ від Just Smart!

Допоможемо скласти іспити на 180+ та вступити до омріяного університету!

Наші курси містять:

• Онлайн-заняття з досвідченими викладачами.
• Унікальні навчальні матеріали.
• Психологічні тренінги та практичні лайфхаки.

 Долай навчальні труднощі разом з нами!

Типи квадратних рівнянь

Основні методи розв’язування квадратних рівнянь

Існує декілька основних методів розв’язування квадратних рівнянь. Розгляньмо детальніше кожен метод.

Доповнення до квадрата

Цей метод передбачає перетворення рівняння в ідеальний квадрат. Наприклад, щоб розв’язати x2+6x+8=0:

• Перепишемо: x²+6x=−8
• Додамо (6/2)²=9 до обох сторін: x²+6x+9=1
• Факторизуємо: (x+3)²=1
• Беремо квадратний корінь: x+3=1 або x+3=−1
• Розв’язки: x=−2 або x=−4

Формула квадратного рівняння

Формула квадратного рівняння є універсальним методом, який можна застосувати до будь-якого квадратного рівняння. Формула виглядає так:

x=−b±√D/2a, де D=b²−4ac

Наприклад, щоб розв’язати 3x²−12x+9=0:

• Визначаємо коефіцієнти: a=3, b=−12, c=9
• Обчислюємо дискримінант: D=(−12)²−4(3)(9)=144−108=36
• Застосовуємо формулу квадратного рівняння:
  x=12±√36/2⋅3=12±6/6 
• Розв’язки: x=3 або x=1

Теорема Вієта

Теорема Вієта встановлює зв’язок між коефіцієнтами квадратного рівняння та його коренями:

x₁ + x₂=−b/a
x₁ ⋅ x₂=c/a

Ця теорема корисна для швидкої перевірки розв’язків або для знаходження коренів методом підбору.

Розглянемо рівняння: x²−7x+12=0

Згідно з теоремою Вієта, ми можемо знайти:

x₁ + x₂=7
x₁⋅ x₂=12

Методом підбору знаходимо, що:

x₁=3, x₂=4

Отже, корені рівняння x²−7x+12=0 дорівнюють 3 та 4.

Графічний метод

Графічний метод полягає в побудові графіка параболи, описаної рівнянням: y=ax²+bx+c

Після побудови графіка потрібно знайти точки перетину цієї параболи з віссю x. Ці точки є коренями квадратного рівняння.

Розглянемо квадратне рівняння: x²−7x+12=0. Функція має вигляд: y=x²−7x+12.

Щоб побудувати графік, ми можемо знайти кілька точок, підставляючи значення x:

• При x=0: y=0²−7⋅0+12=12 (0,12)
• При x=1: y=1²−7⋅1+12=6 (1,6)
• При x=2: y=2²−7⋅2+12=2 (2,2)
• При x=3: y=3²−7⋅3+12=0 (3,0)
• При x=4: y=4²−7⋅4+12=2 (4,2)
• При x=5: y=5²−7⋅5+12=6 (5,6)
• При x=6: y=6²−7⋅6+12=12 (6,12)

Складемо таблицю значень:

Побудуємо графік функції:

З графіка видно, що парабола перетинає вісь x у точках x=3 та x=4. Отже, корені рівняння x²−7x+12=0 дорівнюють 3 та 4.

Розкладання на множники

Цей метод ефективний, коли квадратний тричлен легко розкладається на множники.

Розв’яжемо рівняння: x²−x−6=0.

Розкладаємо квадратний тричлен на множники: (x−3)(x+2)=0.

Згідно з властивістю рівності нуля добутку, якщо добуток двох множників дорівнює нулю, то хоча б один з множників має дорівнювати нулю. Тобто: x−3=0 або x+2=0.

Розв’язуючи ці рівняння, отримуємо: x=3 або x=−2.

Неповні квадратні рівняння

Для неповних квадратних рівнянь можна використовувати спрощені формули:

Практичні поради для розв’язування квадратних рівнянь

• Розумійте дискримінант
  Значення дискримінанта допомагає визначити природу коренів.
• Практикуйте різні методи
  Ознайомтеся з усіма методами розв’язування. Хоча факторизація часто є найшвидшою, деякі рівняння легше розв’язати за допомогою формули квадратного рівняння.
• Перевіряйте свої розв’язки
  Завжди підставляйте свої розв’язки назад в оригінальне рівняння, щоб переконатися, що вони правильні.
• Використовуйте графіки для розуміння
  Графічне зображення квадратної функції може надати візуальне уявлення про розв’язки. Точки, у яких графік перетинає вісь x, відповідають розв’язкам рівняння.

Як JustSmart може допомогти підготуватися до НМТ з математики?

JustSmart пропонує різноманітні можливості для ефективної підготовки до НМТ з математики, забезпечуючи комплексний підхід до навчання.

Ось кілька способів, як ми можемо підтримати вас у цьому процесі на курсах підготовки до НМТ:

• На навчальних вебінарах наші досвідчені викладачі пояснюють ключові теми та концепції. Ці заняття дозволяють вам отримати глибше розуміння матеріалу і поставити питання в режимі реального часу.
• Регулярні психологічні тренінги допомагають підвищити вашу стресостійкість і підготуватися до екзаменаційного тиску. Ви навчитеся технік, які допоможуть зберігати спокій і зосередженість під час іспитів.
• Наші експерти діляться лайфхаками та рекомендаціями, які можуть бути корисними під час складання НМТ. Це покращить вашу підготовку та впевненість у своїх силах.

У JustSmart ви можете пройти пробний тест НМТ з математики, щоб оцінити свій рівень знань прямо зараз. Це допоможе вам зрозуміти, які теми потребують додаткової уваги.

Наші онлайн-курси математики для 1-11 класів сприяють формуванню міцного фундаменту знань. Викладачі надають підтримку та роз’яснення, щоб учні відчували впевненість у своїх знаннях.

Для тих, хто бажає покращити свої мовні навички, ми також пропонуємо заняття з англійської для дітей у JustSchool. Це допоможе розвивати мовні компетенції.

JustSmart — ваш надійний партнер у підготовці до НМТ з математики!

Читайте також: Що таке пропорція в математиці, та яка основна властивість пропорції?

Застосування квадратних рівнянь

Квадратні рівняння є незамінним інструментом у багатьох галузях науки і техніки. Їх застосування демонструє важливість для моделювання, аналізу та розв’язання практичних задач, що робить їх корисними для спеціалістів у різних сферах.

• Фізика. У фізиці квадратні рівняння використовуються для опису руху тіл, зокрема у рівняннях руху з постійним прискоренням. Вони також застосовуються для аналізу електричних кіл, де напруга, струм та опір можуть бути пов’язані за допомогою квадратичних формул.
• Економіка. В економіці квадратні рівняння використовуються для моделювання різних аспектів, таких як аналіз попиту і пропозиції. Вони допомагають у визначенні максимізації прибутку або мінімізації витрат, що є важливими для фінансових розрахунків.
• Геометрія. У геометрії квадратні рівняння застосовуються для знаходження площ і об’ємів різних фігур. Наприклад, площа кола та об’єм тривимірних фігур можуть бути представлені через квадратичні вирази.
• Інженерія. В інженерії квадратні рівняння використовуються при проєктуванні конструкцій. Вони допомагають у розрахунках навантажень на балки та інші конструкції, а також у механіці для аналізу сил і моментів, що діють на елементи конструкцій.

Уміння розв’язувати квадратні рівняння — важлива математична навичка. Різноманітність методів дозволяє вибрати найбільш ефективний підхід для кожного конкретного випадку. Практика та розуміння теоретичних основ допоможуть вам впевнено працювати з квадратними рівняннями в різних задачах.

Читайте також: Як розв’язувати лінійні рівняння: приклади та поради

Завдання для самостійного опрацювання

• Рівняння 1

x²−7x+10=0

• Рівняння 2

2x²+4x−6=0

• Рівняння 3

x²+5x=0

Історія квадратних рівнянь

Квадратні рівняння мають багатовікову історію. Їхнє вивчення почалося ще в стародавньому Вавилоні, де математичні тексти містили задачі на квадратні рівняння. Тоді вони розв’язувалися за допомогою геометричних побудов.

Цікаві факти:

1. Давньогрецький внесок. Математики, як-от Евклід та Герон, використовували геометричні методи для розв’язання квадратних рівнянь. Вони бачили рівняння як задачі на площі.
2. Перські вчені. Аль-Хорезмі, знаменитий математик IX століття, вважається “батьком алгебри”. Він розробив методи, які лягли в основу сучасного розв’язання квадратних рівнянь.
3. Європейський ренесанс. У XVI столітті італійські математики, зокрема Джироламо Кардано, розробили методи для розв’язання кубічних і квадратних рівнянь, які ми використовуємо сьогодні.

*Відповіді до завдань для самостійного опрацювання

• Відповідь до Рівняння 1

Розкладемо на множники: (x−5)(x−2)=0

Корені: x₁=5, x₂=2

• Відповідь до Рівняння 2

Спершу знайдемо дискримінант: D=4²−4⋅2⋅(−6)=16+48=64

Застосуємо формулу: x= −4±√64/2⋅2=−4±8/4

Корені: x₁=1, x₂=−3

• Відповідь до Рівняння 3

Виділяємо спільний множник: x(x+5)=0

Корені: x₁=0, x₂=−5