Як розв’язувати лінійні рівняння: приклади та поради

• Що таке рівняння?
• Знаходження невідомого
• Лінійні рівняння
• Лінійне рівняння з одним невідомим
• Послідовність розв’язування рівнянь
• Розв’язки лінійних рівнянь
• Лінійне рівняння з двома змінними
• Цікаві факти про лінійні рівняння
• Як JustSmart може допомогти підготуватися до НМТ з математики?

Лінійні рівняння — це одна з базових тем алгебри, яка часто зустрічається на Національному мультипредметному тесті (НМТ). Їхнє розуміння та вміння розв’язувати є необхідними для успішного складання завдань з математики. Ця тема не лише перевіряє математичні навички учнів, але й демонструє їхнє вміння логічно мислити, аналізувати та знаходити оптимальні рішення. Завдяки своїй універсальності, лінійні рівняння застосовуються у багатьох розділах математики та реальних життєвих задачах. Вивчення цієї теми допоможе підготуватися до НМТ, зміцнити фундаментальні знання і впевнено розв’язувати завдання різного рівня складності.

Онлайн-курси підготовки до НМТ від Just Smart!

Допоможемо скласти іспити на 180+ та вступити до омріяного університету!

Наші курси містять:

• Онлайн-заняття з досвідченими викладачами.
• Унікальні навчальні матеріали.
• Психологічні тренінги та практичні лайфхаки.

 Долай навчальні труднощі разом з нами!

Що таке рівняння?

Рівняння — це математична рівність, яка містить невідоме число, представлене змінною у вигляді літери.

Змінна — це позначення для невідомого числа.

Корінь рівняння — це те число, підставивши яке в рівняння, одержуємо правильну рівність.

Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або ж переконатися, що їх немає.

Знаходження невідомого

Лінійні рівняння

Лінійне рівняння з однією змінною називається рівняння виду 𝑎𝑥=𝑏, де 𝑥 — змінна; 𝑎, 𝑏 — числа.

Властивості лінійних рівнянь

• Якщо до обох частин даного рівняння додати/відняти одне й те саме число, то отримаємо рівняння, то отримаємо рівняння, яке має такі самі корені, що й дане.
• Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо рівняння, яке має такі самі корені, що й дане.
• Якщо обидві частини рівняння помножити/поділити на одне й те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, яке має такі самі корені, що й дане.

Лінійне рівняння з одним невідомим

Запам’ятаймо!

• Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок.
• Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від’ємник.
• Щоб знайти невідомий від’ємник, треба від зменшуваного відняти різницю.
• Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник.
• Щоб знайти невідоме ділене, треба дільник помножити на частку.
• Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на частку.

Послідовність розв’язування рівнянь

Алгоритм розв’язування лінійних рівнянь:

1. Позбудься знаменників;
2. Спрости вираз;
3. Перенеси числа з невідомими до лівої частини рівняння, а просто числа – до правої та зведи подібні доданки;
4. Знайди корені лінійного рівняння.

Багато рівнянь можна розв’язати, звівши їх до лінійних за наступними правилами:

• Щоб позбутися знаменників дробів, треба помножити кожний член рівняння на найменший спільний знаменник дробів.
• Якщо перед дужками стоїть знак “+”, то при розкритті дужок знаки не змінюються.
• Якщо перед дужками стоїть знак “-”, то при розкритті дужок знаки змінюються на протилежні.
• Якщо перед дужками стоїть число, то при розкритті дужок воно множиться на кожне число, що стоїть в дужках.

Розв’язки лінійних рівнянь

• Якщо 𝑎≠0, тоді 𝑥=𝑏/𝑎  — єдиний корінь лінійного рівняння.
• Якщо 𝑎=0; 𝑏≠0, тоді 0·𝑥=𝑏 і рівняння коренів немає.
• Якщо 𝑎=0; 𝑏=0, тоді 0𝑥=0  і 𝑥  — будь-яке число.

Лінійне рівняння з двома змінними

Рівняння виду ax + by = c, де a, b, c  — числа (коефіцієнти), x та y  — змінні, називається лінійним рівнянням з двома змінними.

Розв’язком рівняння ax + by = c називають будь-яку пару чисел (x;y), яка задовольняє це рівняння, тобто перетворює рівність зі змінними ax + by = c на правильну числову рівність.

Щоб знайти розв’язок рівняння з двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї зі змінних і, розв’язавши одержане рівняння, знайти відповідне їй значення другої змінної.

Графік лінійного рівняння з двома змінними

Якщо хоча б один з коефіцієнтів лінійного рівняння ax + by = c відмінний від 0, то графіком рівняння є пряма лінія.

Координатні чверті:

• Якщо точка М(х; у) належить І чверті, тоді х>0, y>0.
• Якщо точка М(х; у) належить IІ чверті, тоді х<0, y>0.
• Якщо точка М(х; у) належить IIІ чверті, тоді х<0, y<0.
• Якщо точка М(х; у) належить ІV чверті, тоді х>0, y<0.

Запам’ятаймо!

• Область визначення функція — це множина усіх значень, яких набуває змінна х.
• Область значень функції — це множина усіх значень, яких набуває змінна у.

Лінійні рівняння — це фундаментальна тема алгебри, яка має важливе практичне та теоретичне значення. Опанування методів їхнього розв’язання дозволяє не лише впоратися із завданнями НМТ, а й розвинути ключові навички аналізу та логічного мислення, що знадобляться в подальшому навчанні та житті.

Систематична підготовка з цієї теми гарантує впевненість під час тестування, сприяє кращому розумінню математичних принципів і відкриває можливості для успішного проходження екзамену. Вивчайте, практикуйте, і результат не змусить себе чекати!

Читайте також: Многочлени та дії над ними

Цікаві факти про лінійні рівняння

Історія

Лінійні рівняння мають давню історію. Вони використовувалися ще в давньому Єгипті та Вавилоні, де математики розв’язували подібні задачі, але без сучасних символів та термінів.

Візуалізація

Графіки лінійних рівнянь можуть бути використані для моделювання різних реальних ситуацій, таких як фінансові проєкти (наприклад, баланс доходів і витрат) або фізичні явища (наприклад, швидкість і відстань).

Застосування в житті

Лінійні рівняння використовуються в багатьох сферах, таких як архітектура, інженерія, економіка, медицина і навіть в екології для моделювання змін у навколишньому середовищі.

Завдання для самостійного опрацювання

1. Установи відповідність між рівняннями та їх коренями

1. 0,2x – 19 = 0,6x – 23
2. 37 = 10 – (7x + 1)
3. 8x + 16 = 0
4. 5x + (7x – 15) = 9

А. – 2
Б. 2
В. 10
Г. – 4

2. Розв’яжи рівняння з малюнками та дай відповіді

• Олівець дорівнює:
• Гумка дорівнює:
• Скріпка дорівнює:
• Відповідь:

3. Чи є пара чисел (-1; 3) розв’язком рівняння 0x + 4y = -12?
4. Точка М(-2; 7) належить графіку рівняння 7y-4x=57?

Як JustSmart може допомогти підготуватися до НМТ з математики?

Для якісної підготовки до НМТ та глибшого опанування всіх необхідних тем рекомендуємо курси підготовки до НМТ з комплексним підходом до навчання:

• Тематичні вебінари з досвідченими викладачами.
• Індивідуальні консультації для розбору всіх питань.
• Регулярні психологічні тренінги для підвищення стресостійкості.
• Корисні лайфхаки та рекомендації для успішного складання НМТ.

Також у нас ви можете пройти пробний тест НМТ з математики для оцінки свого рівня знань просто зараз.

На онлайн-курсах математики для учнів 1-11 класів наші викладачі формують міцний фундамент знань.

Для тих, хто бажає розвивати мовні навички, ми пропонуємо заняття англійської для дітей у JustSchool.

Читайте також: Дробово-раціональні вирази: правила, приклади та пояснення для учнів

*Відповіді до завдань для самостійного опрацювання

1. В
2. Г
3. А
4. Б

• Олівець дорівнює: 4
• Гумка дорівнює: 22
• Скріпка дорівнює: 2
• Відповідь: 60

3. Ні
4. Так