Дробово-раціональні вирази: правила, приклади та пояснення для учнів

• Дробово-раціональні вирази: основні визначення
• Додавання та віднімання
• Множення та ділення
• Зміна знаків. Скорочення дробів
• Як JustSmart може допомогти підготуватися до НМТ з математики?

Дробово-раціональні вирази — одна з ключових тем у шкільному курсі математики, особливо актуальна для підготовки до ЗНО. На перший погляд, вони можуть здаватися складними, але якщо розібратися у властивостях і методах роботи з такими виразами, завдання стають цілком зрозумілими. У цій статті ми розглянемо правила, приклади та основні методи роботи з дробово-раціональними виразами, а також поради для підготовки до НМТ/ЗНО.

Цікаво знати:

Цікаво, що дроби у сучасному вигляді з’явилися ще в Древньому Єгипті! Там використовували лише так звані “єгипетські дроби” (дроби із чисельником 1). Сучасні ж дробово-раціональні вирази отримали своє поширення завдяки розвитку алгебри у середньовічній Європі.

Онлайн-курси підготовки до НМТ від Just Smart!

Допоможемо скласти іспити на 180+ та вступити до омріяного університету!

Наші курси містять:

• Онлайн-заняття з досвідченими викладачами.
• Унікальні навчальні матеріали.
• Психологічні тренінги та практичні лайфхаки.

 Долай навчальні труднощі разом з нами!

Математика часто здається абстрактною, але дробово-раціональні вирази мають багато прикладних аспектів. Наприклад:

• Економіка: обчислення податків або розрахунок пропорцій у фінансових моделях часто базується на дробово-раціональних виразах.
• Інженерія: під час проєктування конструкцій інженери працюють з раціональними функціями, щоб описати сили або навантаження на матеріали.
• Програмування: дробові вирази часто використовують в алгоритмах, які працюють із розрахунками або моделюванням реальних процесів.

Дробово-раціональні вирази: основні визначення

• Цілі вирази разом з дробовими називають раціональними виразами.
• Дріб 𝐴𝐵, де 𝐴 і 𝐵 — многочлени, називають раціональним дробом. Наприклад:

• Область допустимих значень змінних у виразі (ОДЗ) — усі такі значення змінних, при яких вираз має зміст.
• Для раціонального дробу 𝐴𝐵 допустимі значення змінної визначаються з умови 𝐵≠0 (знаменник не повинен дорівнювати 0).

Додавання та віднімання

Правила додавання та віднімання дробово-раціональних виразів з однаковими знаменниками:

• Щоб виконати додавання раціональних дробів з однаковими знаменниками, потрібно додати їхні чисельники, залишаючи знаменник незмінним.
• Для віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками, потрібно від чисельника зменшуваного відняти чисельник від’ємника, при цьому знаменник залишається таким самим.

Правило додавання раціональних дробів з протилежними знаменниками:

Правило перетворення раціонального дробу в суму або різницю раціональних дробів з тим самим знаменником:

Правило додавання чи віднімання раціональних дробів з різними знаменниками:

Щоб додати раціональні дроби з різними знаменниками, треба звести їх до спільного знаменника, а потім додати їх чисельники. Спільним знаменником двох раціональних дробів може бути:

• добуток їх знаменників;
• один зі знаменників поданих дробів;
• вираз, складений з усіх різних множників знаменників.

Алгоритм додавання та віднімання раціональних дробів з різними знаменниками:

1. Розклади на множники знаменники дробів, якщо це необхідно;
2. Знайди спільний знаменник, бажано найменший;
3. Запиши додаткові множники;
4. Знайди дріб, що є сумою або різницею даних дробів;
5. Спрости цей дріб та отримай відповідь.

Множення та ділення

Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити окремо чисельники та записати в чисельник дробу й окремо знаменники та записати в знаменник дробу.

Щоб помножити раціональний дріб на многочлен, треба чисельник дробу помножити на многочлен, а знаменник залишити той самий.

Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня чисельник і знаменник і перший результат записати в чисельник, а другий — у знаменник дробу.

Щоб поділити один раціональний дріб на другий, перший дріб треба помножити на дріб, обернений до другого.

Алгоритм ділення раціонального дробу 𝐴𝐵 на дріб 𝐶𝐷:

• Замінити дію ділення на дію множення
• Дільник 𝐶𝐷 замінити на обернений дріб 𝐷𝐶
• Виконати множення дробів 𝐴𝐵 і 𝐷𝐶

Щоб поділити раціональний дріб на многочлен, треба цей многочлен помножити на знаменник дробу, а чисельник залишити без змін.

Щоб поділити многочлен на раціональний дріб, треба цей многочлен помножити на дріб, обернений до дільника.

Читайте також: Що таке одночлен, та як виглядає одночлен стандартного вигляду?

Зміна знаків. Скорочення дробів

Скорочення дробу — ділення чисельника і знаменника на спільний множник.

Аби скоротити раціональний дріб, спочатку треба чисельник та знаменник розкласти на множники. Скоротити спільний множник.

Робота з дробово-раціональними виразами може бути простою, якщо зрозуміти основні правила і регулярно практикуватися. Володіння цією темою не тільки полегшить підготовку до НМТ, але й сприятиме глибшому розумінню алгебраїчних операцій. Використовуйте наведені приклади та поради для підвищення своїх знань і впевненості у цій темі.

Завдання для самостійного опрацювання

1.

2.

Як JustSmart може допомогти підготуватися до НМТ з математики?

Щоб підготуватися до НМТ і глибше зрозуміти тему, радимо ефективні курси підготовки до НМТ, які містять:

• Вебінари з викладачем для ґрунтовного опрацювання предметів.
• Регулярні психологічні тренінги для підтримки впевненості.
• Практичні поради та лайфхаки, щоб скласти НМТ на найвищі бали.

Також пропонуємо пройти тести НМТ з математики, що допоможе виявити слабкі місця та зосередитись на їх опрацюванні.

А на онлайн-курсах математики для 1-11 класів наші викладачі допомагають будувати міцну базу знань, яка стане основою для майбутніх навчальних успіхів.

А для тих, хто бажає вдосконалити знання іноземних мов, пропонуємо заняття англійської для дітей у JustSchool.

Читайте також: Що таке степінь числа та властивості степеня?

*Відповіді до завдань для самостійного опрацювання

1. –0,204
2. –1,6