Що таке степінь числа та властивості степеня?

• Основні поняття
• Таблиця степенів
• Властивості степенів
• Застосування властивостей степенів
• Як JustSmart може допомогти підготуватися до НМТ?

Вивчення степенів є важливим елементом шкільного курсу математики. Це не просто теоретична тема, але й інструмент, який має широке практичне застосування в різних сферах. Національний мультипредметний тест (НМТ) щороку містить завдання, що перевіряють знання й розуміння властивостей степенів. Тому ця тема є обов’язковою для вивчення та розуміння.

Значення вивчення степенів у математиці

Степені допомагають розв’язувати складні рівняння, спрощувати вирази та виконувати різні математичні операції. Вони є основою для багатьох інших математичних понять і тем, таких як логарифми, тригонометрія, алгебра та аналіз. Без розуміння степенів неможливо повноцінно освоїти ці важливі розділи математики.

Онлайн-курси підготовки до НМТ від Just Smart!

Допоможемо скласти іспити на 180+ та вступити до омріяного університету!

Наші курси містять:

• Онлайн-заняття з досвідченими викладачами.
• Унікальні навчальні матеріали.
• Психологічні тренінги та практичні лайфхаки.

 Долай навчальні труднощі разом з нами!

Основні поняття

Степінь числа — це математична операція, що показує, скільки разів число потрібно помножити саме на себе. Наприклад, коли ми говоримо про 23 (читається “два в степені три” або “два в кубі”), це означає, що ми множимо 2 на себе три рази: 2·2·2=8.

Степенем числа з натуральним показником 𝑛 називають добуток множників 𝑛, кожен з яких дорівнює 𝑎:

• 𝑎^𝑛 — степінь з натуральним показником
• 𝑎  — основа степеня;
• 𝑛 — показник степеня.

Таблиця степенів

Властивості степенів

• При множенні чисел з однаковими основами їхні степені додаються: 𝑎^𝑛·𝑎^𝑚=𝑎^𝑛+𝑚.
• При діленні чисел з однаковими основами їхні степені віднімаються: 𝑎^𝑚:𝑎^𝑛=𝑎^𝑚-𝑛.
• При піднесенні степеня до степеня показники степенів перемножуються: (𝑎^𝑛)^𝑚=𝑎^𝑛·𝑚.
• Для того, щоб піднести добуток до степеня, необхідно підносити кожен множник окремо до степеня: (𝑎·𝑏)^𝑛=𝑎^𝑛·𝑏^𝑛.
• Для того, щоб піднести частку до степеня, необхідно підносити окремо чисельник та окремо знаменник дробу до степеня: (𝑎/𝑏)^𝑛=𝑎^𝑛/𝑏^𝑛.

Особливі випадки

• Будь-яке число, піднесене до нульового степеня, дорівнює одиниці: 𝑎⁰=1.
• Будь-яке число, піднесене до степеня 1, залишається самим собою: 𝑎¹=𝑎.
• Якщо від’ємне число піднести до парного степеня, результат буде додатним: (-𝑎)^2𝑛=𝑎^2𝑛.
• Якщо від’ємне число піднести до непарного степеня, результат буде від’ємним: (-𝑎)^2𝑛+1=-𝑎^2𝑛+1.

Застосування властивостей степенів

Спрощення виразів

Застосування властивостей степенів дозволяє спрощувати складні математичні вирази, роблячи їх легшими для роботи. Ось кілька прикладів:

2³·2²=2³⁺²=2⁵=32

Пояснення: Додавання показників степенів при множенні однакових основ.

5⁴:5²=5⁴⁻²=5²=25

Пояснення: Віднімання показників степенів при діленні однакових основ.

(3²)³=3^2·3=3⁶=729

Пояснення: Множення показників степенів при піднесенні до степеня.

(4·2)²=4²·2²=16·4=64

Пояснення: Піднесення кожного множника до степеня окремо.

(6/3)²=6²/3²=36/9=4

Пояснення: Піднесення чисельника і знаменника до степеня окремо.

Ці приклади демонструють, як за допомогою властивостей степенів можна легко спростити математичні вирази, що робить їх зручнішими для обчислень.

Розв’язування рівнянь зі степенями

Рівняння зі степенями можна розв’язати шляхом застосування властивостей степенів:

• Рівняння з однаковою основою: 2^x=2⁵

Розв’язок: оскільки основи однакові, то x=5.

• Рівняння з різними основами, але однаковими степенями: 3^2x=9

Розв’язок: оскільки 9=3², рівняння переписується як 3^2x=3², тому 2x=2 і x=1.

• Піднесення до степеня обох частин рівняння: 4^x+1=16

Розв’язок: оскільки 16=4², рівняння переписується як 4^x+1=4², тому x+1=2 і x=1.

Приклади завдань для самостійного розв’язування

1. Розв’яжіть рівняння: 5^x−2=25
2. Спростіть вираз: (2³·2⁻¹)²
3. Розв’яжіть рівняння: 7^2x=49

Використання степенів у житті

Степені часто використовуються в науці, техніці та повсякденному житті. Наприклад:

• в електроніці — для обчислення напруги та струму в ланцюгах.
• у фінансах — для розрахунку складних відсотків.
• у фізиці — для опису масштабів явищ, наприклад, інтенсивності світла або звуку.

Розуміння властивостей степенів допомагає розв’язувати складні математичні задачі простішими методами та з більшою точністю.

Читайте також: Що таке дійсні числа?

Як JustSmart може допомогти підготуватися до НМТ?

JustSmart пропонує ефективні курси підготовки до НМТ, на яких:

• Діє гарантія вступу на бюджет: ми гарантуємо вступ на бюджет або повертаємо кошти за навчання.
• Закриваємо всі потреби в підготовці до НМТ:
  • Навчальні вебінари.
  • Консультації з викладачем.
  • Психологічні тренінги.
  • Лайфхаки та рекомендації щодо складання НМТ.

Завдяки систематичному підходу та сучасним методикам навчання курс підготовки до НМТ JustSmart допоможе вам не лише опанувати тему степенів, але й успішно скласти іспит. Також пропонуємо уроки англійської для дітей JustSchool, які сприятимуть вашому успіху в навчанні та кар’єрі, розширюючи ваші можливості для міжнародної комунікації та співпраці.

Степінь і його властивості — це важливі поняття в математиці, що дозволяють спрощувати складні вирази та розв’язувати різноманітні задачі. Володіючи цими знаннями, ви зможете легше розуміти й застосовувати математичні принципи в повсякденному житті.

Читайте також: Усе про дроби та дії з дробами

Вивчення цієї теми є складовою успішної підготовки до НМТ. Це знання необхідне не лише для складання тесту, але й для подальшого академічного та професійного розвитку. Курси JustSmart надають усі необхідні ресурси для того, щоб ви змогли впевнено та результативно скласти НМТ.

*Відповіді та пояснення до завдань

1. Розв’яжіть рівняння: 5^x−2=25

Відповідь: оскільки 25=5², то 5^x−2=5². Звідси x−2=2, тобто x=4.

1. Спростіть вираз: (2³·2⁻¹)²

Відповідь: (2^3+(-1))²=(2²)²=2^2·2=2⁴=16.

1. Розв’яжіть рівняння: 7^2x=49

Відповідь: оскільки 49=7², то 7^2x=7². Звідси 2x=2, тобто x=1.