Як розв’язувати ірраціональні рівняння: приклади та поради

• Що таке ірраціональні рівняння?
• Чому важливо вміти розв’язувати ірраціональні рівняння?
• Область допустимих значень (ОДЗ)
• Розв’язування ірраціональних рівнянь: покрокова інструкція
• Приклади ірраціональних рівнянь із поясненнями
• Як JustSmat допоможе вивчити ірраціональні рівняння?

Ірраціональні рівняння часто лякають своїм виглядом: під знаком кореня — змінна, незвичні форми, а розв’язання здається чимось складним. Але насправді все набагато простіше, якщо знати чіткий алгоритм дій. У цій статті від онлайн-школи для дітей та підлітків JustSmart розберемо, що таке ірраціональні рівняння, як із ними працювати, на що звертати увагу та як не припуститися типових помилок. З прикладами, поясненнями та корисними порадами — щоб навіть найхитріше рівняння не застало тебе зненацька.

Онлайн-курси підготовки до НМТ від Just Smart!

Допоможемо скласти іспити на 180+ та вступити до омріяного університету!

Наші курси містять:

• Онлайн-заняття з досвідченими викладачами.
• Унікальні навчальні матеріали.
• Психологічні тренінги та практичні лайфхаки.

 Долай навчальні труднощі разом з нами!

Що таке ірраціональні рівняння?

Ірраціональне рівняння — це таке рівняння, в якому змінна (x) стоїть під знаком кореня. Зазвичай мова йде про квадратний корінь, але можуть бути й корені вищих ступенів. Наприклад:

• √x = 5
• √(x + 1) = 4
• √(2x − 3) + 1 = x
• √(x + 2) = √(3x − 1)
• √(x² + 4) = 2x − 1

Усі ці рівняння мають одну спільну рису — змінна стоїть під коренем. Через це їх не можна розв’язати звичайними методами, як лінійні чи квадратні. Тут потрібен особливий підхід.

Чому важливо вміти розв’язувати ірраціональні рівняння?

По-перше, ірраціональні рівняння — обов’язкова частина шкільної програми, вони точно трапляться тобі на уроках алгебри.

По-друге, завдання на розв’язання ірраціональних рівнянь часто використовують в тестах на НМТ, тому варто знати, як із ними поводитись, щоб не губитися під час іспиту.

По-третє, уміння працювати з такими рівняннями тренує логіку, уважність і терпіння. Це ті навички, які знадобляться не лише на контрольній чи НМТ, а й у повсякденному житті (навіть якщо ти не математик!).

Далі ми розберемося, як саме розв’язуються ірраціональні рівняння: крок за кроком, з прикладами, порадами та “фішками”, які допоможуть тобі краще все зрозуміти.

Область допустимих значень (ОДЗ)

Перш ніж розв’язувати ірраціональне рівняння, обов’язково треба визначити область допустимих значень — це ті значення змінної, при яких вираз під коренем має зміст. Наприклад, у рівнянні √(x − 3) = 2, корінь має зміст лише тоді, коли x − 3 ≥ 0, тобто x ≥ 3, інакше він не існуватиме в множині дійсних чисел.

Викладачі наших курсів підготовки до НМТ завжди вчать не забувати про таке: якщо ти отримаєш якісь розв’язання, які не належать до ОДЗ — їх треба відкинути. Це типова помилка на контрольних і на НМТ, тому будь уважним.

Розв’язування ірраціональних рівнянь: покрокова інструкція

Щоб ірраціональне рівняння не здавалося страшним звіром, просто дотримуйся п’яти простих кроків. Це як рецепт: якщо не пропускати жодного пункту — усе обов’язково вдасться!

Крок 1: Визначаємо ОДЗ

Пам’ятаємо: підкореневий вираз має бути більше або дорівнювати нулю. Тобто перед розв’язанням ми одразу записуємо умову. Наприклад, якщо маємо √(x – 2), то вираз існує лише тоді, коли x ≥ 2 — це і є наша ОДЗ.

Крок 2: Позбуваємося коренів

Далі — найцікавіше. Щоб прибрати корінь, підносимо обидві частини рівняння до квадрата (або до іншого відповідного степеня, залежно від кореня). Наприклад:

√(x – 2) = 3

(√(x – 2))² = 3²

x – 2 = 9

Тут важливо бути уважним: якщо рівняння складніше або має кілька коренів — діємо обережно, крок за кроком, і бажано тренуватись на прикладах. З цим тобі можуть допомогти викладачі онлайн-курсів математики, показавши кожен етап розв’язання складніших рівнянь.

Крок 3: Розв’язуємо рівняння

Вітаємо! Найстрашніше позаду. Після піднесення до степеня маємо вже звичайне лінійне або квадратне рівняння. Розв’язуємо його стандартними та знайомими нам методами:

x – 2 = 9

x = 9 + 2

x = 11

Крок 4: Перевіряємо, чи відповідають корені ОДЗ

Це обов’язково! У процесі піднесення до степеня могли з’явитись зайві корені, які не підходять до початкового рівняння. Підставляємо кожен знайдений корінь у початкове рівняння й перевіряємо, чи все правильно: якщо число не входить до припустимого діапазону, його потрібно відкинути. У випадку з нашим рівнянням усе добре: x = 11, тобто більше за 2.

Крок 5: Готово! Записуємо відповідь.

У відповідь записуємо лише ті корені, які пройшли перевірку й входять в ОДЗ. Якщо всі корені відсіялися — відповідь буде “розв’язків немає”.

Приклади ірраціональних рівнянь із поясненнями

Як JustSmat допоможе вивчити ірраціональні рівняння?

Не розумієш, звідки береться ОДЗ? Плутаєшся, коли потрібно підносити до квадрата? Викладачі JustSmart пояснюють тему ірраціональних рівнянь так, що навіть найзаплутаніші приклади стають зрозумілими. Без зубріння — через логіку, практику і чітку структуру. Онлайн-репетитор з математики стане вашим особистим тренером у світі чисел і формул. Ми підбираємо фахівця під рівень учня — від молодших класів до підготовки до НМТ. Ви отримуєте підтримку, пояснення, мотивацію й безпечний онлайн-простір для навчання. Це більше, ніж урок — це впевненість у завтрашньому дні.

Щоб розпочати, достатньо пройти наш тест НМТ з математики — він покаже, які теми ти вже знаєш, а над чим ще варто попрацювати. Це безплатно й займає лише кілька хвилин.

До речі, якщо ти ще й вивчаєш мови — зверни увагу на англійську для підлітків в JustSchool. Це чудове доповнення до навчання, особливо якщо готуєшся до НМТ, міжнародних іспитів або мрієш навчатися за кордоном.

Пам’ятай: ірраціональні рівняння — це не пастка, а логічна задача з чітким розв’язанням. Варто лише уважно визначити область допустимих значень, акуратно піднести до степеня й перевірити відповідь — і жоден корінь не зіб’є тебе з пантелику. Тренуйся, розбирай приклади й не бійся складного: кожне рівняння — це ще один крок до впевненості в математиці та гарних результатів на НМТ.