Дроби — це важлива тема математики, з якою ми зіштовхуємося в повсякденному житті та навчанні. Вони допомагають краще розуміти й оперувати частинами цілого, хай то частина піци, час на годиннику чи відрізок на лінійці. Розуміння дробів є ключовим для успішної підготовки до Національного мультипредметного тесту (НМТ), оскільки завдання на дроби часто трапляються в тестах. Опанування цієї теми допоможе не лише впевнено почуватись під час тестування, а й зробить математику більш зрозумілою та цікавою. Досліджуймо разом, що таке дроби і як із ними працювати!
Основні поняття
Визначення та види
Дріб — це спосіб запису числа, що представляє одну чи декілька частин цілого. Він складається з двох частин: чисельника і знаменника, розділених лінією дробу.
Звичайнийдріб — це число, яке представляє частку від ділення двох цілих чисел, у вигляді .
Правильнийдріб — той, у якого чисельник менший за знаменник. Тобто:.
Неправильнийдріб — той, у якого чисельник більший за знаменник або дорівнює йому. Тобто:.
Мішанечисло — складене з натурального числа (ціла частина) та звичайного дробу (дробова частина).
Знаменник і чисельник
Чисельником дробу називають число, записане над рискою дробу. Він показує, скільки взято частин цілого.
Знаменником дробу називають число, записане під рискою дробу. Він показує, на скільки частин розділили ціле.
Розуміння цих основних понять допоможе легко працювати з дробами та розв’язувати завдання.
Мішане число завжди можна перетворити на неправильний дріб:
Потрібно помножити цілу частину на знаменник, а потім додати чисельник. Отримане число буде чисельником, а знаменник залишається тим самим.
З неправильного дробу завжди можна виділити цілу частину.
Неправильний дріб можна перетворити на мішане число, поділивши чисельник на знаменник. Частка від ділення стане цілою частиною, а остача — чисельником дробової частини. Знаменник залишається тим самим.
Зведення дробів до спільного знаменника
Найменший спільний знаменник (НСЗ) — це число, яке дорівнює найменшому спільному кратному (НСК) знаменників дробів. Для зведення дробів до найменшого спільного знаменника треба:
знайти найменше спільне кратне знаменників;
знайти додаткові множники для кожного дробу, поділивши НСК знаменників на знаменник кожного дробу;
чисельник і знаменник кожного дробу помножити на відповідний додатковий множник.
Наприклад, зведемо дроби 2/3 і 3/4 до спільного знаменника:
Знаходимо НСК для 3 і 4. Найменше число, яке ділиться і на 3, і на 4, — це 12.
Перетворюємо кожен дріб:
Для 2/3 : множимо чисельник і знаменник на 4 (щоб отримати знаменник 12): 2⋅4 / 3⋅4=8/12
Для 3/4: множимо чисельник і знаменник на 3 (щоб отримати знаменник 12): 3⋅3 / 4⋅3=9/12
Отримані дроби: 8/12 і 9/12 тепер мають спільний знаменник 12.
Основні дії з дробами
Порівняння дробів
Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, потрібно звести їх до спільного знаменника і порівняти їхні чисельники. Дріб із більшим чисельником буде відповідно більшим.
Зводити до однакового чисельника варто в тому випадку, коли знаменники дробів великі.
Для порівняння методом десяткових дробів, необхідно перетворити кожен дріб на десятковий і потім порівняти отримані результати, зокрема:
Поділити чисельник на знаменник для кожного дробу, щоб отримати десятковий дріб.
Порівняти отримані десяткові числа.
Приклад: Порівняймо дроби 3/4 і 5/6 методом десяткових дробів.
Перетворення дробів на десяткові числа:
3/4 = 3:4=0,75
5/6 = 5:6≈0,8333
Порівняння десяткових чисел:
0,75 < 0,83330
Отже, 3/4 < 5/6.
Додавання і віднімання дробів
Якщо обидва дроби мають спільний знаменник, тоді можемо записати їх наспільній рисці дробу:
Якщо дроби мають різні знаменники, тоді необхідно звести їх до спільного знаменника:
Множення та ділення
Щоб помножити один дріб на другий, необхідно чисельник та знаменник першого помножити на чисельник та знаменник другого дробу відповідно.
Ділення дробів обернене множенню (треба чисельник першого дробу помножити на знаменник другого, а знаменник першого — помножити на чисельник другого дробу).
Скорочення дробів
Скорочення дробів – це процес перетворення дробу на рівний йому дріб із меншими чисельником і знаменником, зберігаючи значення дробу незмінним. Це робиться шляхом ділення чисельника і знаменника на їхній найбільший спільний дільник (НСД).
Алгоритм скорочення дробів
Знайти найбільший спільний дільник (НСД) чисельника і знаменника.
Поділити чисельник і знаменник на знайдений НСД.
Записати скорочений дріб.
Наприклад, скоротимо 8/12:
Знайти НСД чисел 8 і 12:
Дільники 8: 1, 2, 4, 8.
Дільники 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Найбільший спільний дільник (НСД) = 4.
Поділити чисельник і знаменник на НСД (4): 8:4/12:4=2/3
Діє гарантія вступу на бюджет: ми гарантуємо вступ на бюджет або повертаємо кошти за навчання.
Закриваємо всі потреби в підготовці до НМТ:
Навчальні вебінари.
Консультації з викладачем.
Психологічні тренінги.
Лайфхаки та рекомендації щодо складання НМТ.
З допомогою нашої онлайн-школи ви зрозумієте всі процеси іспиту, напишете якісний мотиваційний лист, будете в курсі всіх новин та нововведень по НМТ та отримаєте консультацію щодо питання, куди краще вступати.
Якщо ви прагнете покращити свої математичні навички, запрошуємо вас на онлайн-курси математики для учнів 1-11 класів! Наші досвідчені викладачі допоможуть вам засвоїти всі аспекти математичних концепцій, зокрема роботу з дійсними числами та дробами, а також попрактикуватися в завданнях формату НМТ на курсі підготовки до НМТ з математики. Не пропустіть можливість підвищити свою математичну грамотність і досягти високого балу в навчанні та на іспитах. Приєднуйтеся також до наших занять англійською для дітей в JustSchool і станьте на шлях до академічного успіху вже сьогодні!
Приклади завдань на НМТ
У коробці лежать не більше, ніж 50 цукерок, які можна порівну розділити між двома або трьома дітьми, але не можна між чотирма. Укажіть, яка найбільша можлива кількість цукерок може лежати в коробці?
Варіанти: А 42, Б 44, В 46, Г 48, Д 50
Пояснення:
36 = 2⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 — число ділиться на 4;
40 = 2 ⋅ 2⋅ 2 ⋅ 5 — число ділиться на 4;
42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 — число ділиться на 2, на 3 і не ділиться на 4.
Розуміння і вміння працювати з дробами сприяє розвитку математичної грамотності та логічного мислення, що є корисним у багатьох сферах життя, від базових фінансових розрахунків до складних наукових досліджень. Опанування цих навичок є важливим кроком у математичній освіті кожного учня.
